Question

求证：4×6ⁿ+5ⁿ⁺¹-9能被20整除．

Answer 1

考点：二项式定理的应用

专题：二项式定理

分析：利用二项式定理的展开式，4×6ⁿ+5ⁿ⁺¹-9=4×（6ⁿ-1）+5×（5ⁿ-1）=4×[（5+1）ⁿ-1]+5×[（4+1）ⁿ-1]，问题得以解决．

解答： 解：4×6ⁿ+5ⁿ⁺¹-9
=4×（6ⁿ-1）+5×（5ⁿ-1）
=4×[（5+1）ⁿ-1]+5×[（4+1）ⁿ-1]
=4×(

C

0 n

•50+

C

1 n

•51+…+

C

n n

•5n-1)+5×

(C

0 n

•40

+C

1 n

•41+…+

C

n n

•4n-1)
=4×5×

(C

1 n

+

C

2 n

•5+

C

3 n

•52+…+

C

n n

•5n-1)+5×4×（

C

1 n

+

C

2 n

•4

+C

3 n

•42+…

+C

n n

•4n-1）
=20×[

(C

1 n

+

C

2 n

•5+

C

3 n

•52+…+

C

n n

•5n-1)+（

C

1 n

+

C

2 n

•4

+C

3 n

•42+…

+C

n n

•4n-1）]
∴4×6ⁿ+5ⁿ⁺¹-9能被20整除．

点评：本题主要考查了二项式定理的应用，利用展开式求证数的整除的问题，属于中档题．