Question

如图：已知三棱锥P-ABC中，PA⊥面ABC，AB⊥AC，PA=AC=

1

2

AB=2，N为AB上一点，AB=4AN，M，S分别为PB，BC的中点．
（1）求面MNC与面NCB所成的锐二面角的余弦值．
（2）在线段PA（包括端点）上是否存在一点Q，使SQ⊥平面MNC？若存在，确定Q的位置；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面垂直的性质

专题：计算题,空间位置关系与距离,空间角

分析：建立空间直角坐标系，利用向量法分别证明直线垂直，求二面角的大小即可．

解答： 解：（1）以A为原点，射线AB，AC，AP分别为x，y，z轴正向建立空间直角坐标系如图，
则M（2，0，1），N（1，0，0），C（0，2，0），B（4，0，0），P（0，0，2），S（2，1，0），
∴

MN

=（-1，0，-1），

NC

=（-1，2，0），
设面MNC的法向量为

n

=（x，y，z），则

-x-z=0 -x+2y=0

，
∴

n

=（2，1，-2），
∵面NCB的法向量为

m

=（0，0，2），
∴面MNC与面NCB所成的锐二面角的余弦值为|

4

4+1+4 •2

=

2

3

；
（2）设Q（0，0，c）（0≤c≤2），则

SQ

=（-2，-1，c），
若SQ⊥平面MNC，则

SQ

∥

n

，∴c=2，
即Q为P点时，SQ⊥平面MNC．

点评：本题主要考查空间位置关系的判断，以及空间二面角和的大小求法，建立空间直角坐标系，利用向量坐标法是解决此类问题比较简洁的方法．