Question

已知方程sinx+

3

cosx+a=0在区间[0，2π]上有且只有两个不同的实根，求这两个实根的和．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数

专题：三角函数的图像与性质

分析：由题意可得，在区间[0，2π]上，函数y=sin（x+

π

3

）的图象和直线y=-

a

2

有2个交点，结合图象可得-1＜-

a

2

＜

3

2

，或

3

2

＜-

a

2

＜1．分类讨论求得两个实根的和．

解答： 解：方程sinx+

3

cosx+a=0，即sin（x+

π

3

）=-

a

2

，
再根据方程在区间[0，2π]上有且只有两个不同
的实根，
可得在区间[0，2π]上，函数y=sin（x+

π

3

）的图象
和直线y=-

a

2

有2个交点，
结合图象可得-1＜-

a

2

＜

3

2

，或

3

2

＜-

a

2

＜1．
当-1＜-

a

2

＜

3

2

时，两个实根的和为2×

7π

6

=

7π

3

，
当

3

2

＜-

a

2

＜1时，两个实根的和为2×

π

6

=

π

3

．

点评：本题主要考查两角和的正弦公式，正弦函数的图象和性质，体现了转化、数形结合的数学思想，属于基础题．