Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，并且满足a₁=2，na_n+1=S_n+n（n+1）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令T_n=

Sn

2n

，当n≥3时，求证：T_n＞T_n+1．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件推导出nS_n+1-（n+1）S_n=n（n+1），两边同时除以n（n+1），得：

Sn+1

n+1

-

Sn

n

=1，从而得到S_n=n（n+1），由此能求出a_n=2n．
（2）由T_n=

Sn

2n

=

n2+n

2n

，得到T_n-T_n+1=

n2+n

2n

-

(n+1)2+(n+1)

2n+1

=

(n- 1 2 )2- 9 4

2n+1

，由此能证明当n≥3时，T_n＞T_n+1．

解答： （1）解：∵na_n+1=S_n+n（n+1），a_n+1=S_n+1-S_n，
∴nS_n+1-（n+1）S_n=n（n+1），
两边同时除以n（n+1），得：

Sn+1

n+1

-

Sn

n

=1，
∵

S1

1

=

a1

1

=2，
∴{

Sn

n

}为等差数列，公差d=1，首项2，
∴

Sn

n

=2+n-1=n+1，∴S_n=n（n+1）
∴a_n=S_n-S_n-1=[n（n+1）]-（（n-1）n]=2n，
把n=1代入验证，满足，∴a_n=2n．
（2）证明：∵T_n=

Sn

2n

=

n2+n

2n

，
∴T_n-T_n+1=

n2+n

2n

-

(n+1)2+(n+1)

2n+1

=

2n2+2n

2n+1

-

n2+3n+2

2n+1

=

n2-n-2

2n+1

=

(n- 1 2 )2- 9 4

2n+1

，
由（n-

1

2

）²-

9

4

≥0，得n≥2．
∴当n≥2时，T_n＞T_n+1．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意作差法比较大小的合理运用．