Question

（1）若点A（2，2）在矩阵M=

cosa      -sina sina        cosa

对应变换的作用下得到的点为B（-2，2），求矩阵M的逆矩阵．
（2）已知矩阵A=

2    1 4    2

，向量

β

=

1 7

，求A⁵⁰

β

．

Answer 1

考点：逆变换与逆矩阵

专题：选作题,矩阵和变换

分析：（1）根据二阶矩阵与平面列向量的乘法，确定矩阵M，再求矩阵的逆矩阵；
（2）根据特征值的定义列出特征多项式f（λ），再令f（λ）=0解方程可得特征值，再由特征值列出方程组解得相应的特征向量．利用特征向量表示向量β，后将求A⁵⁰β的值的问题转化成求有关特征向量的计算问题．

解答： 解：（1）由题意，

cosa      -sina sina        cosa

2 2

=

-2 2

∴

cosα-sinα=-1 sinα+cosα=1

，
∴

cosα=0 sinα=1

∴M=

0 -1 1 0

，
∵|M|=1≠0，
∴M^-1=

0 1 -1 0

；
（2）解：矩阵M的特征多项式为f（λ）=（λ-2）²-4=0
所以λ₁=0，λ₂=4，设对应的特征向量为α₁=

x1 y1

，α₂=

x2 y2

．
由Mα₁=λ₁α₁，Mα₂=λ₂α₂，可得2x₁+y₁=0，2x₂-y₂=0，
所以矩阵M的一个特征向量为α₁=

1 -2

，α₂=

1 2

．
（2）令β=mα₁+nα₂，则

1 7

=m

1 -2

+n

1 2

，
解得m=-

5

4

，n=

9

4

，
所以M⁵⁰β=M⁵⁰（-

5

4

α₁+

9

4

α₂）
=-

5

4

M⁵⁰α₁+

9

4

M⁵⁰α₂=

450• 9 4 450• 9 2

点评：本题考查矩阵的求法，考查矩阵的逆矩阵，考查了特征值与特征向量的计算以及利用特征向量求向量乘方的问题，属于中档题．