Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n=n²（n∈N^*），数列{b_n}是各项均为正数的等比数列，b₃=1，b₅=16．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）设c_n=a_n•b_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的通项公式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件推导出a_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1，（n≥2）a₁=S₁=1，满足上式，由此求出a_n=2n-1．由已知条件利用等比数列的通项公式列出方程组，求出首项和公比，由此能求出数列{b_n}的通项公式．
（2）由c_n=a_n•b_n=（2n-1）•4^n-3，利用错位相减法能求出数列{c_n}的前n项和T_n．

解答： 解：（1）∵数列{a_n}的前n项和S_n=n²（n∈N^*），
∴a_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1，（n≥2）
a₁=S₁=1，满足上式，
∴a_n=2n-1．
∵数列{b_n}是各项均为正数的等比数列，b₃=1，b₅=16，
∴

b1q2=1 b1q4=16

，解得b1=

1

16

，q=4或

1

b1

=

1

16

，q=-4（舍）．
∴bn=

1

16

×4n-1=4^n-3．
（2）∵c_n=a_n•b_n=（2n-1）•4^n-3，
∴Tn=1•4-2+3•4-1+5•40+7•4+…+（2n-1）•4^n-3，①
4T_n=1•4^-1+3•4⁰+5•4+7•4²+…+（2n-1）•4^n-2，②
①-②，得-3Tn=

1

16

+2(4-1+40+4+42+…+4^n-3）-（2n-1）•4^n-2
=

1

16

+2×

1 4 (1-4n-1)

1-4

-(2n-1)•4n-2
=-

1

48

+

1

12

•4n-1-(2n-1)•4n-2，
∴T_n=

1

144

-

4n-2

9

+

2n-1

3

•4n-2．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．