Question

已知函数f（x）=a^x-

1

ax

，且a^tf（2t）+mf（t）≥0，求m的值．

Answer 1

考点：有理数指数幂的化简求值

专题：函数的性质及应用

分析：由已知条件得at(a2t-

1

a2t

)+m(at-

1

at

)≥0，从而得到m（at-

1

at

）≥

1

at

-a3t，再由at-

1

at

的符号进行分类讨论，由此能求出结果．

解答： 解：∵f（x）=a^x-

1

ax

，且a^tf（2t）+mf（t）≥0，
∴at(a2t-

1

a2t

)+m(at-

1

at

)≥0，
∴m（at-

1

at

）≥

1

at

-a3t，
①当at-

1

at

=0，即a^t=±1时，m=0．
②当at-

1

at

＞0，即a^t＞1或a^t＜-1时，
m＞

1 at -a3t

at- 1 at

=

1-a4t

a2t-1

=-a^2t-1．
③当at-

1

at

=0，即-1＜a^t＜1时，
m＜

1 at -a3t

at- 1 at

=

1-a4t

a2t-1

=-a^2t-1．

点评：本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意有理数指数幂的运算法则的合理运用．