Question

已知数列{a_n}满足a_n+1+a_n=4n+4，n∈N^*
（1）若a₁=1，试求数列{a_n}的通项公式；
（2）是否存在a₁，使{a_n}为等差数列？

Answer 1

考点：等差关系的确定,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）再写一式，两式相减可知∴{a_n}的奇数项与偶数项分别是公差为4的等差数列． 从而分段可写出数列{a_n}的通项公式．
（2）若数列{a_n}是等差数列，则a_n=a₁+（n-1）d，a_n+1=a₁+nd．求出解得，d=2，a₁=3，继而得出答案．

解答： 解：（1）由a_n+1+a_n=4n+4，
∴a_n+2+a_n+1=4（n+1）+4=4n+8
∴a_n+2-a_n=4
∴{a_n}的奇数项与偶数项分别是公差为4的等差数列．
又a₁=1，
∴a₂=7
∴an=

4n-3，   n为正奇数 4n+3，n为正偶数

（2）若数列{a_n}是等差数列，则a_n=a₁+（n-1）d，a_n+1=a₁+nd．
由a_n+1+a_n=4n+4，得（a₁+nd）+[a₁+（n-1）d]=4n+4，即2d=4，2a₁-d=4，
解得，d=2，a₁=3，
所以存在存在a₁=3，使{a_n}为等差数列．

点评：本题考查了等差数列的定义和通项公式，属于中档题．