Question

证明下列不等式：
（1）若a＞0，b＞0，且

1

a

+

1

b

=1，求证：a+b≥4．
（2）若b＞a＞0，求证：ln

b

a

＜

b

a

-1．

Answer 1

考点：不等式的证明,基本不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）利用基本不等式，可得a+b=（a+b）•（

1

a

+

1

b

）=2+

b

a

+

a

b

≥2+2

a b • b a

=4，从而可证得结论成立；
（2）设g（x）=lnx-（x-1）（x＞1），利用g′（x）=

1

x

-1知，x＞1时，g′（x）＜0，g（x）=lnx-（x-1）（x＞1）在[1，+∞）上递减，令x=

b

a

（b＞a＞0），即可证得结论成立．

解答： 证明：（1）∵a＞0，b＞0，且

1

a

+

1

b

=1，
∴a+b=（a+b）•（

1

a

+

1

b

）=2+

b

a

+

a

b

≥2+2

a b • b a

=4，当且仅当即a=b时取等号．（6分）
（2）设g（x）=lnx-（x-1）（x＞1）…（8分）
∴g′（x）=

1

x

-1，
∴x＞1时，g′（x）＜0，g（x）=lnx-（x-1）（x＞1）在[1，+∞）上递减，
又g（1）=ln1-（1-1）=0，
∴x＞1时g（x）＜g（1）=0即lnx＜（x-1），
令x=

b

a

（b＞a＞0），
则ln

b

a

＜

b

a

-1． …（13分

点评：本题考查不等式的证明，着重考查基本不等式的应用及推理证明能力，属于中档题．