Question

已知函数f(x)＝3^x，且f(a＋2)＝18，g(x)＝3^ax－4^x的定义域为区间[0,1]．

(1)求函数g(x)的解析式；

(2)判断g(x)在区间[0,1]上的单调性，并用定义证明；

(3)求函数g(x)的值域．

Answer 1

解析：　(1)因为f(a＋2)＝18，

所以3^a＋2＝18,3^a＝2，g(x)＝3^ax－4^x＝2^x－4^x.

(2)函数g(x)在[0,1]上单调递减．

证明如下：设任意的0≤x₁<x₂≤1，

则g(x₁)－g(x₂)＝－4^x1＋2^x1＋4^x2－2^x2

＝(2^x1－2^x2)[1－(2^x1＋2^x2)]．

因为2^x1－2^x2<0,2^x1＋2^x2>1，所以1－(2^x1＋2^x2)<0，

所以g(x₁)－g(x₂)>0，即g(x₁)>g(x₂)，

所以g(x)在区间[0,1]上是减函数．

(3)由(2)可知，函数g(x)在区间[0,1]上是减函数，所以g(1)≤g(x)≤g(0)，又因为g(0)＝－4⁰＋2⁰＝0，g(1)＝－4＋2＝－2，所以g(x)∈[－2,0].