Question

设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（2）=0，当x＞0时，有(

f(x)

x

)的导数小于零恒成立，则不等式

x

2

f(x)＞0的解集是（　　）

A．（一2，0）∪（2，+∞）

B．（一2，0）∪（0，2）

C．（-∞，-2）∪（2，+∞）

D．（-∞，-2）∪（0，2）

Answer 1

分析：首先根据商函数求导法则，求出(

f(x)

x

)的导数

xf′(x)-f(x)

x2

；然后利用导函数的正负性，判断函数y=

f(x)

x

在（0，+∞）内单调递减；再由f（2）=0，易得f（x）在（0，+∞）内的正负；最后结合奇函数的图象特征，可得f（x）在（-∞，0）内的正负性．则x²f（x）＞0?f（x）＞0的解集即可求得．

解答：解：由(

f(x)

x

)′=

xf′(x)-f(x)

x2

因为当x＞0时，有

xf′(x)-f(x)

x2

＜0恒成立，即[

f(x)

x

]′＜0恒成立，
∴y=

f(x)

x

在（0，+∞）内单调递减，
∵f（2）=0，
∴在（0，2）内恒有f（x）＞0；在（2，+∞）内恒有f（x）＜0．
又∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴在（-∞，-2）内恒有f（x）＞0；在（-2，0）内恒有f（x）＜0．
又不等式x²f（x）＞0的解集，即不等式f（x）＞0的解集．
故答案为：（-∞，-2）∪（0，2）．

点评：本题主要考查函数求导法则及函数单调性与导数的关系，判断函数的单调性时，常可利用导函数来判断，注意转化思想的应用．