Question

7．已知log${\;}_{\frac{1}{2}}}$a＜log${\;}_{\frac{1}{2}}}$b，则下列不等式一定成立的是（　　）

• A． ln（a-b）＞0
• B． $\frac{1}{a}＞\frac{1}{b}$
• C． ${（\frac{1}{4}）^a}＜{（\frac{1}{3}）^b}$
• D． 3^a-b＜1

Answer 1

分析 由题意可得a＞b＞0，再利用对数函数、指数函数与幂函数的单调性即可得出答案．

解答 解：∵$y=lo{g}_{\frac{1}{2}}x$是定义域上的减函数，且${log_{\frac{1}{2}}}a＜{log_{\frac{1}{2}}}b$，
∴a＞b＞0．
当0＜a-b＜1时，ln（a-b）＜0，
当a-b≥1时，ln（a-b）≥0，∴A错误；
∵$\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=\frac{b-a}{ab}＜0$，
∴$\frac{1}{a}＜\frac{1}{b}$，B错误；
∵$y=（\frac{1}{4}）^{x}$是定义域R上的减函数，
∴$（\frac{1}{4}）^{a}＜（\frac{1}{4}）^{b}$，
又∵y=x^b在（0，+∞）上是增函数，
∴$（\frac{1}{4}）^{b}＜（\frac{1}{3}）^{b}$，
∴$（\frac{1}{4}）^{a}＜（\frac{1}{3}）^{b}$，C正确；
∵a-b＞0，∴3^a-b＞1，D错误．
故选：C．

点评 本题考查函数的单调性，函数值的比较，属于中档题．