Question

18．现有两个班级，每班各出4名选手进行羽毛球的男单、女单、男女混合双打（混双）比赛（注：每名选手打只打一场比赛）．根据以往的比赛经验，各项目平均完成比赛所需时间如表所示，现只有一块比赛场地，各场比赛的出场顺序等可能．

比赛项目	男单	女单	混双
平均比赛时间	25分钟	20分钟	35分钟

（Ⅰ）求按女单、混双、男单的顺序进行比赛的概率；
（Ⅱ）求第三场比赛平均需要等待多久才能开始进行；
（Ⅲ）若要使所有参加比赛的人等待的总时间最少，应该怎样安排比赛顺序（写出结论即可）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出三场比赛的种数，其中按按女单、混双、男单的顺序进行比赛只有1种，根据概率公式计算即可，
（Ⅱ）令A表示女单比赛、B表示男单比赛、C表示混双比赛，分别求出按不同顺序比赛时，第三场比赛等待的时间，再根据平均数的定义即可求出，
（Ⅲ）按照比赛时间从长到短的顺序参加比赛，可使等待的总时间最少．

解答 解：（I）三场比赛共有$A_3^3=6$种方式，其中按按女单、混双、男单的顺序进行比赛只有1种，所以按女单、混双、男单的顺序进行比赛的概率为$\frac{1}{6}$．　　　　（Ⅱ）令A表示女单比赛、B表示男单比赛、C表示混双比赛．
按ABC顺序进行比赛，第三场比赛等待的时间是：t₁=20+25=45（分钟）．
按ACB顺序进行比赛，第三场比赛等待的时间是：t₂=20+35=55（分钟）．
按BAC顺序进行比赛，第三场比赛等待的时间是：t₃=20+25=45（分钟）．
按BCA顺序进行比赛，第三场比赛等待的时间是：t₄=35+25=60（分钟）．
按CAB顺序进行比赛，第三场比赛等待的时间是：t₅=35+20=55（分钟）．
按CBA顺序进行比赛，第三场比赛等待的时间是：t₆=35+25=60（分钟）．
且上述六个事件是等可能事件，每个事件发生概率为$\frac{1}{6}$，所以平均等待时间为$\frac{45+45+55+55+60+60}{6}=\frac{160}{3}$，
（Ⅲ）按照比赛时间从长到短的顺序参加比赛，可使等待的总时间最少

点评 本题考查了古典概率，平均数，排列组合的问题，属于中档题．