Question

8．已知数列{a_n}满足a₁=1，且对于任意n∈N^*都有a_n+1=a_n+n+1，则$\frac{1}{{a}_{1}}+\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{1001}}$=$\frac{1001}{501}$．

Answer 1

分析 对于任意n∈N^*都有a_n+1=a_n+n+1，即a_n+1-a_n=n+1，利用“累加求和”与“裂项求和”即可得出．

解答 解：∵对于任意n∈N^*都有a_n+1=a_n+n+1，即a_n+1-a_n=n+1，
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁=n+（n-1）+…+2+1=$\frac{n（n+1）}{2}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=$2（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．
∴$\frac{1}{{a}_{1}}+\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{1001}}$=2$[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{1001}-\frac{1}{1002}）]$
=2$（1-\frac{1}{1002}）$=$\frac{1001}{501}$．
故答案为：$\frac{1001}{501}$．

点评 本题考查了“累加求和”与“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．