Question

14．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若C=2B，则$\frac{c}{b}$是取值范围为（$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$）．

Answer 1

分析 由题意和正弦定理可得$\frac{c}{b}$=2cosB，由锐角三角形可得B的范围，由余弦函数值域和不等式可得．

解答 解：∵在锐角△ABC中C=2B，∴由正弦定理可得：
$\frac{c}{b}$=$\frac{sinC}{sinB}$=$\frac{sin2B}{sinB}$=$\frac{2sinBcosB}{sinB}$=2cosB，
∵A+B+C=π，∴A+3B=π，即A=π-3B，
由锐角三角形可得0＜π-3B＜$\frac{π}{2}$且0＜2B＜$\frac{π}{2}$，
解得$\frac{π}{6}$＜B＜$\frac{π}{4}$，故$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜cosB＜$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$\sqrt{2}$＜2cosB＜$\sqrt{3}$，
故答案为：（$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$）．

点评 本题考查正余弦定理解三角形，由已知三角形得出B的范围是解决问题的关键，属基础题．