Question

（1）已知函数f（x）=rx-x^r+（1-r）（x＞0），其中r为有理数，且0＜r＜1，求f（x）的最小值；
（2）试用（1）的结果证明如下命题：设a₁≥0，a₂≥0，b₁，b₂为正有理数，若b₁+b₂=1，则≤a₁b₁+a₂b₂；
（3）请将（2）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题。注：当α为正有理数时，有求导公式（x^α）^′=αx^α-1 。

Answer 1

解：（1）求导函数可得：f′（x）=r（1-x^r-1），
令f′（x）=0，解得x=1；
当0＜x＜1时，f′（x）＜0，
所以f（x）在（0，1）上是减函数；
当x＞1时，f′（x）＞0，
所以f（x）在（0，1）上是增函数
所以f（x）在x=1处取得最小值f（1）=0；
（2）由（1）知，x∈（0，+∞）时，有f（x）≥f（1）=0，即x^r≤rx+（1-r）①
若a₁，a₂中有一个为0，
则≤a₁b₁+a₂b₂成立；
若a₁，a₂均不为0，
∵b₁+b₂=1，
∴b₂=1-b₁，
∴①中令，可得≤a₁b₁+a₂b₂成立
综上，对a₁≥0，a₂≥0，b₁，b₂为正有理数，
若b₁+b₂=1，则≤a₁b₁+a₂b₂；② 。
（3）（2）中的命题推广到一般形式为：设a₁≥0，a₂≥0，…，a_n≥0，b₁，b₂，…，b_n为正有理数，若b₁+b₂+…+b_n=1，则≤a₁b₁+a₂b₂+…a_nb_n；③
用数学归纳法证明：
（i）当n=1时，b₁=1，a₁≤a₁，③成立
（ii）假设当n=k时，③成立，即a₁≥0，a₂≥0，…，a_k≥0，b₁，b₂，…，b_k为正有理数，若
b₁+b₂+…+b_k=1，则≤a₁b₁+a₂b₂+…a_kb_k
当n=k+1时，a₁≥0，a₂≥0，…，a_k+1≥0，b₁，b₂，…，b_k+1为正有理数，
若b₁+b₂+…+b_k+1=1，
则1-b_k+1＞0
于是=（）=
∵
∴≤
=
∴≤·（1-b_k+1）
∴
∴当n=k+1时，③
成立由（i）（ii）可知，对一切正整数，推广的命题成立。