Question

【题目】已知函数，其中为实数，为自然对数的底数.

（1）求函数的单调区间；

（2）是否存在实数，使得对任意给定的，在区间上总存在三个不同的，使得成立？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）单调递增区间为与，单调递减区间为与（2）存在，

【解析】

（1）先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系即可求解，

（2）结合（1）的讨论,对进行分类讨论，即可求解．

解：（1）

.

当，即时，.

∴.

当时，；当时，.

当，即时，.

∴.

当时，；当时，.

∴函数的单调递增区间为与，单调递减区间为与.

（2）由（1）可知，函数在有两个极小值，，

存在一个极大值，另外.

对于函数.

假设存在满足题意的实数.

当时，，满足题意.

当时，.

由题意，解得.

当时，.

由题意，解得.

综上，实数的取值范围是.