Question

20．已知函数f（x）=cosx（sinx+cosx）-$\frac{1}{2}$．
（1）若0＜α＜$\frac{π}{2}$，且sinα=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，求f（α）的值；
（2）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间．

Answer 1

分析 （1）根据题意，利用sinα求出cosα的值，再计算f（α）的值；
（2）化简函数f（x），求出f（x）的最小正周期与单调增区间即可．

解答 解：（1）∵0＜α＜$\frac{π}{2}$，且sinα=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴cosα=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴f（α）=cosα（sinα+cosα）-$\frac{1}{2}$
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×（$\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$）-$\frac{1}{2}$
=$\frac{1}{2}$；
（2）∵函数f（x）=cosx（sinx+cosx）-$\frac{1}{2}$
=sinxcosx+cos²x-$\frac{1}{2}$
=$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{1+cos2x}{2}$-$\frac{1}{2}$
=$\frac{1}{2}$（sin2x+cos2x）
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），
∴f（x）的最小正周期为T=$\frac{2π}{2}$=π；
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
解得kπ-$\frac{3π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{π}{8}$，k∈Z；
∴f（x）的单调增区间为[kπ-$\frac{3π}{8}$，kπ+$\frac{π}{8}$]，k∈Z．

点评 本题考查了三角函数的化简以及图象与性质的应用问题，是基础题目．