Question

4．设$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$是两个非零向量，则下列命题为真命题的是
①若$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为60°，则|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|；
②若|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|，则$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$的夹角60°；
③若|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$|-|$\overrightarrow{b}$|，则存在非零实数λ，使得$\overrightarrow{b}$=λ$\overrightarrow{a}$；
④若存在非零实数λ，使得$\overrightarrow{b}$=λ$\overrightarrow{a}$，则|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$|-|$\overrightarrow{b}$；
⑤若$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$共线且同向，则|$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow{b}$|．
其中的正确的结论是③⑤（写出所有正确结论的序号）．

Answer 1

分析 举例说明①④错误；由已知求得$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$的夹角说明②错误；由向量模的关系推证③⑤正确．

解答 解：①若$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为60°，则|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|错误，当$|\overrightarrow{a}|≠|\overrightarrow{b}|$时不成立；
②若|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|，则$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$可构成等边三角形，$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$的夹角30°，故②错误；
③若|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$|-|$\overrightarrow{b}$|，则$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$共线反向，存在非零实数λ，使得$\overrightarrow{b}$=λ$\overrightarrow{a}$，故③正确；
④若存在非零实数λ，使得$\overrightarrow{b}$=λ$\overrightarrow{a}$，则|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$|-|$\overrightarrow{b}$错误，当$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$共线同向时不成立；
⑤若$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$共线且同向，则|$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow{b}$|cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$＞=$|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|cos0=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|$，故⑤正确．
故答案为：③⑤．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，考查了向量共线的条件，考查平面向量的数量积运算，是中档题．