Question

12．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦点为F（2，0），且离心率为$\frac{1}{2}$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知O为坐标原点，过椭圆C的右顶点A作直线l与圆x²+y²=$\frac{8}{5}$相切并交椭圆C于另一点B，求$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$的值．

Answer 1

分析 （1）由已知得到c，结合离心率求得a，再由隐含条件得b，则椭圆方程可求；
（2）求出A的坐标，设出直线l的方程，利用直线和圆相切求得k，联立直线方程和椭圆方程，利用根与系数的关系求得$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$的值．

解答 解：（1）由题意，c=2，∵离心率为$\frac{1}{2}$，可得a=2c=4．
∴b²=a²-c²=12．
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1$；
（2）由（1）知，椭圆的右顶点为A（4，0），设直线l的方程为y=k（x-4），
∵直线l与圆x²+y²=$\frac{8}{5}$相切，∴$\frac{|4k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}=\sqrt{\frac{8}{5}}$，即9k²=1，得k=$±\frac{1}{3}$．
联立y=$\frac{1}{3}（x-4）$与$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1$，得31x²-32x-368=0．
设B（x₀，y₀），则由根与系数的关系得：$4{x}_{0}=-\frac{368}{31}$，
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=$4{x}_{0}=-\frac{368}{31}$．
同理，当直线为y=-$\frac{1}{3}（x-4）$时，可得$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=$4{x}_{0}=-\frac{368}{31}$．
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=$-\frac{368}{31}$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与圆位置关系的应用，是中档题．