Question

在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点M（1，-3）、N（5，1），若点C满足

OC

=t

OM

+(1-t)

ON

(t∈R)，点C的轨迹与抛物线：y²=2px（p＞0）交于D、E两点．
（1）

OD

⊥OE

，求抛物线的方程；
（2）过动点（a，0）且斜率为1的直线l与该抛物线交于不同的两点A、B，且|AB|≤2p．
（i）求a的取值范围；
（ii）若线段AB的垂直平分线交x轴于点Q，求△QAB面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）由

OC

=t

OM

+(1-t)

ON

(t∈R)，知点C的轨迹是M，N两点所在的直线，故点C所在的轨迹方程是y=x-4．设D（x₁，y₁），E（x₂，y₂），则

OD

=（x₁，y₁），

OE

=(x2，y2)，由

y=x-4 y2=2px

，得（x-4）²=2px，由此能求出抛物线方程．
（2）（i）（1）设出直线的方程与抛物线方程联立消去y，设直线l与抛物线两个不同的交点坐标为A，B，进而根据判别是对大于0，及x₁+x₂的和x₁x₂的表达式，求得AB的长度的表达式，根据|AB|的范围确定a的范围
（2）设AB的垂直平分线交AB于点E，令坐标为（x₃，y₃），则由中点坐标公式求得x₃的坐标，进而求得EM的长度．根据△MNE为等腰直角三角形，求得EQ的长度，进而表示出△QAB的面积，根据|AB|范围确定三角形面积的最大值．

解答：解：（1）由

OC

=t

OM

+(1-t)

ON

(t∈R)，知点C的轨迹是M，N两点所在的直线，
故点C所在的轨迹方程是

y+3

x-1

=

1+3

5-1

，即y=x-4．
设D（x₁，y₁），E（x₂，y₂），则

OD

=（x₁，y₁），

OE

=(x2，y2)，
由

y=x-4 y2=2px

，得（x-4）²=2px，
∴x²-（2p+8）x+16=0．
∴x₁x₂=16，x₁+x₂=2p+8，
∴y₁y₂=（x₁-4）（x₂-4）=x₁x₂-4（x₁+x₂）+16=-8p，
∵

OD

⊥

DE

，∴

OD

•

DE

=0，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∴16-8p=0，
∴p=2，
∴抛物线方程为y²=4x．
（2）（i）直线l的方程为y=x-a
将y=x-a代入y²=2px，
得x²-2（a+p）x+a²=0．
设直线l与抛物线两个不同的交点坐标为A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
则

4(a+p)2-4a2＞0 x1+x2=2(a+p) x1x2=a2

又y₁=x₁-a，y₂=x₂-a，
∴| AB |=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

2[(x1+x2)2-4x1x2]

=

4a2+16ap+8p2

．
∵0＜|AB|≤2p，
∴0＜4a²+16ap+8p²≤4p²．
解得(-2-

3

)p≤a＜(-2-

2

)p或(-2+

2

)p＜a≤(-2+

3

)p．
（ii）设AB的垂直平分线交AB于点E，令坐标为（x₃，y₃），则由中点坐标公式，得x3=

x1+x2

2

=a+p，y3=

y1+y2

2

=

(x1-a)+(x2-a)

2

=p．
∴|EM|²=（a+p-a）²+（p-0）²=2p²，
又△MNE为等腰直角三角形，
∴|EQ|=|EM|=

2

p
∴S△QAB =

1

2

 |AB||EQ|=

1

2

|AB|•|EQ|
=

2

2

p|AB|≤

2

2

p•2p=

2

p2，
即△QAB面积最大值为

2

p2．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．