Question

已知函数f（x）=x²-4x+3
（1）当x∈[-1，3]时，求函数f（x）的值域；
（2）若关于x的方程|f（x）|-a=0有三个不相等的实数根，求实数a的值；
（3）已知t＞0，求函数f（x）在区间[t，t+1]上的最小值．

Answer 1

分析：（1）函数f（x）=x²-4x+3=（x-2）²-1，它的对称轴为x=2，再由x∈[-1，3]利用二次函数的性质求出
函数的值域．
（2）由题意可得函数y=|f（x）|的图象和直线y=a有3个交点，数形结合可得a的值．
（3）分①当t+1＜2时、②当 t≤2≤t+2、③当t＞2时三种情况，分别利用二次函数的性质求出函数的最小值．

解答：解：（1）当x∈[-1，3]时，由于函数f（x）=x²-4x+3=（x-2）²-1，它的对称轴为x=2．
故当x=2时，函数取得最小值为f（2）=-1，故当x=-1时，函数取得最大值为f（-1）=-8，
故函数的值域为[-1，8]．
（2）关于x的方程|f（x）|-a=0有三个不相等的实数根，∴函数y=|f（x）|的图象和直线y=a有3个交点．
数形结合可得，a=1．
（3）已知t＞0，①当t+1＜2时，即t＜1时，函数f（x）在区间[t，t+1]上单调递减，
故当x=t+1时，函数取得最小值为 f（t+1）=t²-2t．
②当 t≤2≤t+1，即 1≤t≤2时，当x=2时，函数取得最小值为 f（2）=-1．
③当t＞2时，函数f（x）在区间[t，t+1]上单调递增，
故当x=t时，函数取得最小值为 f（t）=（t-2）²-1．
综上可得，函数的最小值为 f_min（x）=

t2-1 ，t＜1 -1  ，0≤t≤2 (t-2)2-1 ， t＞2

．

点评：本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，求函数的最值，二次函数的性质的应用，体现了分类讨论的
数学思想，属于基础题．