Question

已知函数f（x）对任意实数x均有f（x）=kf（x+2），其中常数k为负数，且f（x）在区间[0，2]上有表达式f（x）=x（x-2）．
（1）求f（1），f（-1）的值；
（2）当x∈[2，4]时，求f（x）的解析式；
（3）写出f（x）在[-3，3]上的表达式．

Answer 1

考点：函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）中f（1）易求，求f（-1）用公式f（x）=kf（x+2）；（2）中通过区间转换的方式解决，用（x+2）替换x．（3）各个区间上的表达式不一样，所以分段表示．

解答： 解：（1）∵f（x）=x（x-2），∴f（1）=-1；
∵f（x）=kf（x+2），且f（x）在区间[0，2]时，f（x）=x（x-2）
∴f（-1）=kf（-1+2）=kf（1）=k•1•（1-2）=-k．
（2）若x∈[0，2]，则x+2∈[2，4]；
∴f(x+2)=

1

k

f(x)=

1

k

x(x-2)=

1

k

[(x+2)-2][(x+2)-4]
∴当x∈[2，4]时，f（x）=

1

k

（x-2）（x-4）．
（3）若x∈[-2，0），则x+2∈[0，2）∴f（x+2）=（x+2）[（x+2）-2]=x（x+2）
∴f（x）=kf（x+2）=kx（x+2）；
若x∈[-4，-2），则x+2∈[-2，0）
∴f（x+2）=k（x+2）[（x+2）+2]=k（x+2）（x+4）
∴f（x）=kf（x+2）=k²（x+2）（x+4）；
∵（2，3]?[2，4]，[-3，-2）?[-4，-2），
∴当x∈[-3，3]时，f(x)=

k2(x+2)(x+4)，x∈[-3，-2) kx(x+2)，x∈[-2，0) x(x-2)，x∈[0，2] 1 k (x-2)(x-4)，x∈(2，3]

．

点评：这是一道求函数解析式的问题，本题较为抽象，在区间转化时一定要细心，防止出错．