Question

【题目】设等差数列{an}的前n项和为Sn ， 已知a3=24，S11=0．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{an}的前n项和Sn；
（Ⅲ）当n为何值时，Sn最大，并求Sn的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）依题意，∵a3=24，S11=0，
∴a1+2d=24，a1+55d=0，
解之得a1=40，d=﹣8，∴an=48﹣8n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，a1=40，an=48﹣8n，
∴Sn= =﹣4n2+44n．
（Ⅲ）由（Ⅱ）有，Sn=﹣4n2+44n=﹣4（n﹣5.5）2+121，
故当n=5或n=6时，Sn最大，且Sn的最大值为120
【解析】（Ⅰ）分别利用等差数列的通项公式及等差数列的前n项和的公式由a3=24，S11=0表示出关于首项和公差的两个关系式，联立即可求出首项与公差，即可得到数列的通项公式；（Ⅱ）根据（Ⅰ）求出的首项与公差，利用等差数列的前n项和的公式即可表示出Sn；（Ⅲ）根据（2）求出的前n项和的公式得到Sn是关于n的开口向下的二次函数，根据n为正整数，利用二次函数求最值的方法求出Sn的最大值即可．
【考点精析】本题主要考查了等差数列的性质的相关知识点，需要掌握在等差数列{an}中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；相隔等距离的项组成的数列是等差数列才能正确解答此题．