Question

【题目】已知A、B、C为三角形ABC的三内角，其对应边分别为a，b，c，若有2acosC=2b+c成立．
（1）求A的大小；
（2）若 ，b+c=4，求三角形ABC的面积．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵2acosC=2b+c，由正弦定理可知2sinAcosC=2sinB+sinC，①

三角形中有：sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，②

联立①②可化简得：2cosAsinC+sinC=0，

在三角形中sinC≠0，得cosA=﹣ ，

又0＜A＜π，

∴A=

（2）解：由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，得（2 ）2=（b+c）2﹣2bc﹣2bccos ，即12=16﹣2bc+bc，

解得：bc=4，

则S△ABC= bcsinA= ×4× =

【解析】（1）利用正弦定理化简已知等式，再利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式得到关系式，联立后根据sinC不为0求出cosA的值，由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；（2）利用余弦定理列出关系式，将a，b+c及cosA的值代入求出bc的值，由sinA与bc的值，利用三角形的面积公式求出即可．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用正弦定理的定义和余弦定理的定义的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握正弦定理:；余弦定理:;;．