Question

7．△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，若2csinA=atanC，cosB=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，则角A的大小是$\frac{π}{2}$．

Answer 1

分析 根据正弦定理和商的关系化简已知的式子，由内角的范围和特殊角的三角函数值求出C的值，利用特殊角的三角函数值可求B，进而利用三角形内角和定理可得A的值．

解答 解：∵2csinA=atanC，
∴由正弦定理得，2sinCsinA=sinAtanC，
则2sinCsinA=sinA•$\frac{sinC}{cosC}$，
由sinCsinA≠0得，cosC=$\frac{1}{2}$，
∵0＜C＜π，
∴C=$\frac{π}{3}$，
∵cosB=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，B∈（0，π），
∴B=$\frac{π}{6}$，
∴A=π-（B+C）=$\frac{π}{2}$．
故答案为：$\frac{π}{2}$．

点评 本题考查了正弦定理的应用：边角互化，以及利用商的关系切化弦，注意内角的范围，考查了转化思想，属于基础题．