Question

6．已知函数$f（x）=\sqrt{3}sinxcosx-{cos^2}x-\frac{1}{2}，x∈R$．
（ I）求$f（x）=-\frac{1}{2}$时x取值的集合；
（ II）已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c=3，f（C）=0，若向量$\overrightarrow m=（1，sinA）与\overrightarrow n=（2，sinB）$共线，求a，b的值．

Answer 1

分析 （I）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=$sin（2x-\frac{π}{6}）-1$，可得$sin（2x-\frac{π}{6}）=\frac{1}{2}$，解得x取值的集合．
（II）由题意可得$sin（2C-\frac{π}{6}）=1$，结合C的范围，可求C的值，由m与n共线得sinB-2sinA=0，由正弦定理可得b=2a． ①由余弦定理，得$9={a^2}+{b^2}-2abcos\frac{π}{3}$． ②，解①②组成的方程组，即可得解．

解答 （本题满分为12分）
解：（I）$f（x）=\sqrt{3}sinxcosx-{cos^2}x-\frac{1}{2}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x-\frac{1}{2}cos2x-1$=$sin（2x-\frac{π}{6}）-1$…（3分）
由$f（x）=-\frac{1}{2}$得$sin（2x-\frac{π}{6}）=\frac{1}{2}$，
故$2x-\frac{π}{6}=\frac{π}{6}+2kπ或2x-\frac{π}{6}=\frac{5π}{6}+2kπ，k∈Z$，
所以x取值的集合为：$\left\{{\left.x\right|x=\frac{π}{6}+kπ或x=\frac{π}{2}+kπ，k∈Z}\right\}$…（5分）
（II）∵$f（C）=sin（2C-\frac{π}{6}）-1=0$，即$sin（2C-\frac{π}{6}）=1$，
∵$0＜C＜π，-\frac{π}{6}＜2C-\frac{π}{6}＜\frac{11π}{6}$，
∴$2C-\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$，
∴$C=\frac{π}{3}$…（6分）
∵m与n共线，∴sinB-2sinA=0，
由正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$，得b=2a． ①…（8分）
∵c=3，由余弦定理，得$9={a^2}+{b^2}-2abcos\frac{π}{3}$． ②…（10分）
解①②组成的方程组，得$\left\{\begin{array}{l}a=\sqrt{3}\\ b=2\sqrt{3}.\end{array}\right.$…（12分）

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质，考查了正弦定理，余弦定理，平面向量与共线向量的应用，属于中档题．