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【题目】设F1 , F2分别是椭圆E:x2+ =1(0<b<1)的左、右焦点,过F1的直线l与E相交于A、B两点,且|AF2|,|AB|,|BF2|成等差数列. (Ⅰ)求|AB|;
(Ⅱ)若直线l的斜率为1,求b的值.

【答案】解:(Ⅰ)由椭圆定义知|AF2|+|AB|+|BF2|=4 又2|AB|=|AF2|+|BF2|,得
(Ⅱ)L的方程式为y=x+c,其中
设A(x1 , y1),B(x2 , y2),则A,B两点坐标满足方程组 .,
化简得(1+b2)x2+2cx+1﹣2b2=0.

因为直线AB的斜率为1,所以


解得
【解析】(Ⅰ)由椭圆定义知|AF2|+|AB|+|BF2|=4,再由|AF2|,|AB|,|BF2|成等差数列,能够求出|AB|的值.(Ⅱ)L的方程式为y=x+c,其中 ,设A(x1 , y1),B(x1 , y1),则A,B两点坐标满足方程组 ,化简得(1+b2)x2+2cx+1﹣2b2=0.然后结合题设条件和根与系数的关系能够求出b的大小.

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