【题目】设F1 , F2分别是椭圆E:x2+ =1(0<b<1)的左、右焦点,过F1的直线l与E相交于A、B两点,且|AF2|,|AB|,|BF2|成等差数列. (Ⅰ)求|AB|;
(Ⅱ)若直线l的斜率为1,求b的值.
【答案】解:(Ⅰ)由椭圆定义知|AF2|+|AB|+|BF2|=4 又2|AB|=|AF2|+|BF2|,得
(Ⅱ)L的方程式为y=x+c,其中
设A(x1 , y1),B(x2 , y2),则A,B两点坐标满足方程组 .,
化简得(1+b2)x2+2cx+1﹣2b2=0.
则 .
因为直线AB的斜率为1,所以
即 .
则 .
解得
【解析】(Ⅰ)由椭圆定义知|AF2|+|AB|+|BF2|=4,再由|AF2|,|AB|,|BF2|成等差数列,能够求出|AB|的值.(Ⅱ)L的方程式为y=x+c,其中 ,设A(x1 , y1),B(x1 , y1),则A,B两点坐标满足方程组 ,化简得(1+b2)x2+2cx+1﹣2b2=0.然后结合题设条件和根与系数的关系能够求出b的大小.
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【题目】已知点P在直线x+3y﹣2=0上,点Q在直线x+3y+6=0上,线段PQ的中点为M(x0 , y0),且y0<x0+2,则 的取值范围是( )
A.[﹣ ,0)
B.(﹣ ,0)
C.(﹣ ,+∞)
D.(﹣∞,﹣ )∪(0,+∞)
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【题目】如图,四边形ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,PD∥QA,QA=AB= PD. (Ⅰ)证明:平面PQC⊥平面DCQ
(Ⅱ)求二面角Q﹣BP﹣C的余弦值.
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【题目】已知f(x)=ax2﹣2(a+1)x+3(a∈R).
(1)若函数f(x)在 单调递减,求实数a的取值范围;
(2)令h(x)= ,若存在 ,使得|h(x1)﹣h(x2)|≥ 成立,求实数a的取值范围.
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【题目】已知二次函数f(x)=mx2+4x+1,且满足f(﹣1)=f(3).
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若函数f(x)的定义域为(﹣2,2),求f(x)的值域.
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【题目】已知函数f(x)=a(|sinx|+|cosx|)﹣ sin2x﹣1,若f( )= ﹣ .
(1)求a的值,并写出函数f(x)的最小正周期(不需证明);
(2)是否存在正整数k,使得函数f(x)在区间[0,kπ]内恰有2017个零点?若存在,求出k的值,若不存在,请说明理由.
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【题目】高二某班50名学生在一次百米测试中,成绩全部都介于13秒到18秒之间,将测试结果按如下方式分成五组,第一组[13,14),第二组[14,15),…,第五组[17,18],如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.
(1)若成绩在区间[14,16)内规定为良好,求该班在这次百米测试中成绩为良好的人数;
(2)请根据频率分布直方图估计样本数据的众数和中位数(精确到0.01).
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【题目】设集合M={x|﹣a<x<a+1,a∈R},集合N={x|x2﹣2x﹣3≤0}.
(1)当a=1时,求M∪N及N∩RM;
(2)若x∈M是x∈N的充分条件,求实数a的取值范围.
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