Question

某厂随机抽取生产的某种产品200件，经质量检验，其中一等品126件，二等品50件，三等品20件，次品4件，已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而生产1件次品亏损2万元，设1件产品的利润为ξ（单位：万元）．
（Ⅰ）求ξ的分布列；
（Ⅱ）求1件产品的平均利润即ξ的数学期望；
（Ⅲ）提高产品质量最后次品率降为1%，一等品率提高到70%（仍有四个等级的产品），如果此时要求1件产品的平均利润不低于4.74万元，则三等品率最多是多少？

Answer 1

考点：离散型随机变量及其分布列,离散型随机变量的期望与方差

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ）ξ的所有可能取值为6，2，1，-2，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列．
（Ⅱ）由ξ的分布列能求出Eξ．
（Ⅲ）设所求三等品率为x，则此时1件产品的平均利用润为：E（x）=6×0.7+2×（1-0.7-0.01-x）+（-2）×0.01+x=4.76-x，由此能求出三等品率最多是2%．

解答： 解：（Ⅰ）ξ的所有可能取值为6，2，1，-2，
P（ξ=6）=

126

200

=0.63，
P（ξ=2）=

50

200

=0.25，
P（ξ=1）=

20

200

=0.1，
P（ξ=-2）=

4

200

=0.02．
∴ξ的分布列为：

ξ	6	2	1	-2
P	0.63	0.25	0.1	0.02

（Ⅱ）Eξ=6×0.63+2×0.25+1×0.1-2×0.02=4.34．
（Ⅲ）设所求三等品率为x，则此时1件产品的平均利用润为：
E（x）=6×0.7+2×（1-0.7-0.01-x）+（-2）×0.01+x=4.76-x，
其中x∈[0，0.29），由题意知E（x）≥4.74，
即4.76-x≥4.74，
解得x≤0.02，
∴三等品率最多是2%．

点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，在历年高考中都是必考题型．