Question

设函数f（x）=sin2x-cos（2x-

π

6

）．
（1）求f（x）在区间[0，

π

2

]上的最大值和最小值；
（2）设α是锐角，f（

α

2

+

π

4

）=

3

5

，求sinα的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的图象

专题：计算题,三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）运用两角差的余弦公式和正弦公式，化简f（x）得sin（2x-

π

3

），通过x的范围，求出f（x）的最值；
（2）讨论若α+

π

6

＞

π

2

，则推出sin（α+

π

6

）∈（

3

2

，1），而

3

2

＞

3

5

不可能，故0＜α+

π

6

＜

π

2

，再由sinα=sin（α+

π

6

-

π

6

），运用两角差的正弦公式，即可得到sinα的值．

解答： 解：（1）f（x）=sin2x-cos（2x-

π

6

）=sin2x-

3

2

co2sx-

1

2

sin2x
=

1

2

sin2x-

3

2

cos2x=sin（2x-

π

3

），
当x∈[0，

π

2

]，2x-

π

3

∈[-

π

3

，

2π

3

]，-

3

2

≤f（x）≤1．
∴f（x）在区间[0，

π

2

]上的最大值为f（

5π

12

）=1，最小值为f（0）=-

3

2

；
（2）f（

α

2

+

π

4

）=sin（α+

π

2

-

π

3

）=sin（α+

π

6

）=

3

5

，
若α+

π

6

＞

π

2

，则由α是锐角，则α+

π

6

∈（

π

2

，

2π

3

），此时sin（α+

π

6

）∈（

3

2

，1），
而

3

2

＞

3

5

不可能，故0＜α+

π

6

＜

π

2

，
∴sinα=sin（α+

π

6

-

π

6

）=sin（α+

π

6

）cos

π

6

-cos（α+

π

6

）sin

π

6

=

3

5

×

3

2

-

4

5

×

1

2

=

3 3 -4

10

．

点评：本题考查三角函数的化简和求值，考查三角函数的值域和最值，以及三角中常见的角的变换，记熟三角公式是迅速解题的关键，本题是一道中档题．