Question

在△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，已知角C=

π

3

，a+b=λc（其中λ＞1）．
（1）当λ=2时，试判断△ABC的形状；
（2）当λ=

3

2

时，若

AC

•

BC

=5，求边长c．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,正弦定理,余弦定理

专题：平面向量及应用

分析：（1）由角C=

π

3

，利用余弦定理可得：c²=a²+b²-2abcosC=a²+b²-ab，当λ=2时，a+b=2c，消去c可得a=b，即可得出△ABC为等边三角形．
（2）由

AC

•

BC

=5，可得ab=5．由（1）可得c²=a²+b²-2abcosC=a²+b²-ab，当λ=

3

2

时，a+b=

3

2

c，联立即可解得．

解答： 解：（1）∵角C=

π

3

，∴c²=a²+b²-2abcosC=a²+b²-ab，
当λ=2时，a+b=2c，
∴（a+b）²=4a²+4b²-4ab，化为a²+b²-2ab=0，解得a=b，
∴△ABC为等边三角形．
（2）∵

AC

•

BC

=5，∴ab=5．
由（1）可得c²=a²+b²-2abcosC=a²+b²-ab，
当λ=

3

2

时，a+b=

3

2

c，
联立解得c=2

6

．

点评：本题考查了向量的数量积定义、余弦定理、等边三角形的判定，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．