Question

已知向量

a

=（cosα，sinα），

b

=（cosβ，sinβ），|

a

-

b

|=

2

5

5

．
（1）求cos（α-β）的值；
（2）若-

π

2

＜β＜0＜α＜

π

2

，且sinβ=-

5

13

，求sinα的值．

Answer 1

考点：两角和与差的余弦函数,向量的模

专题：三角函数的求值

分析：（1）由模长公式和三角函数公式可得|

a

-

b

|²=2-2co（α-β）=

4

5

，变形可得；（2）结合角的范围分别可得sin（α-β）=

4

5

和cosβ=

12

13

，而sinα=sin[（α-β）+β]=sin（α-β）cosβ+cos（α-β）sinβ，代入化简可得．

解答： 解：（1）∵

a

=（cosα，sinα），

b

=（cosβ，sinβ），∴|

a

|=|

b

|=1，
∴|

a

-

b

|²=

a

2-2

a

•

b

+

b

2=1+1-2（cosαcosβ+sinαsinβ）=2-2cos（α-β），
又∵|

a

-

b

|=

2

5

5

，
∴|

a

-

b

|²=2-2cos（α-β）=

4

5

，
∴cos（α-β）=

3

5

；
（2）∵-

π

2

＜β＜0＜α＜

π

2

，∴0＜α-β＜π，
由cos（α-β）=

3

5

可得sin（α-β）=

4

5

，由sinβ=-

5

13

可得cosβ=

12

13

，
∴sinα=sin[（α-β）+β]=sin（α-β）cosβ+cos（α-β）sinβ
=

4

5

×

12

13

+

3

5

×(-

5

13

)=

33

65

点评：本题考查两角和与差的正余弦函数，涉及向量的模长公式，属基础题．