Question

已知向量

m

=（2cosx，

3

sin2x），

n

=（cosx，1），函数f（x）=

m

•

n

．
①求f（x）的解析式和函数图象的对称轴方程；
②在△ABC中，a、b、c分别为A、B、C的对边，满足a+c≥2b，求f（B）的范围．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,余弦定理

专题：三角函数的图像与性质,平面向量及应用

分析：①利用数量积运算、倍角公式、两角和差的正弦公式可得：函数f（x）=

m

•

n

=2sin(2x+

π

6

)+1，
由sin(2x+

π

6

)=±1，即可解得函数图象的对称轴方程．
②由余弦定理可得：cosB=

a2+c2-b2

2ac

，再利用基本不等式可得cosB≥

1

2

，可得B∈(0，

π

3

]，(2B+

π

6

)∈(

π

6

，

5π

6

].sin(2B+

π

6

)∈[

1

2

，1]．即可得出函数f（B）的值域．

解答： 解：①函数f（x）=

m

•

n

=2cos2x+

3

sin2x=cos2x+1+

3

sin2x=2sin(2x+

π

6

)+1，
由sin(2x+

π

6

)=±1，解得2x+

π

6

=kπ+

π

2

，即x=

kπ

2

+

π

6

（k∈Z）．
∴函数图象的对称轴方程为x=

kπ

2

+

π

6

（k∈Z）．
②由余弦定理可得：cosB=

a2+c2-b2

2ac

≥

a2+c2-( a+c 2 )2

2ac

=

3a2+3c2-2ac

8ac

≥

4ac

8ac

=

1

2

，当且仅当a=c时取等号．
∴B∈(0，

π

3

]．∴(2B+

π

6

)∈(

π

6

，

5π

6

]．
∴sin(2B+

π

6

)∈[

1

2

，1]．
∴f（B）=2sin(2B+

π

6

)+1∈[2，3]．

点评：本题考查了数量积运算、倍角公式、两角和差的正弦公式、三角函数的图象与性质、基本不等式的性质、余弦定理，考查了推理能力和计算能力，属于难题．