Question

设函数f（x）=

x-[x]，x＜0 f(x-1)，x≥0

，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[-1.6]=-2，[1]=1，[1.2]=1，若直线y=kx+1（k＜0）与函数y=f（x）的图象恰有2个不同的交点，则k的取值范围是（　　）

• A、[-

  1

  2

  ，-

  1

  3

  ）
• B、[-1，-

  1

  2

  ）
• C、（-1，-

  1

  2

  ]
• D、（-

  1

  2

  ，-

  1

  3

  ]

Answer 1

考点：分段函数的应用,函数的图象

专题：函数的性质及应用

分析：若f（x）=kx+1与f（x）有2个不同的交点，画出函数f（x）的图象，结合y=kx+1的图象恒过（0，1）点，数形结合，易分析出k的取值范围．

解答： 解：当-1≤x＜0，[x]=-1，此时f（x）=x+1，
当0≤x＜1，-1≤x-1＜0，f（x）=f（x-1）=x，
当x＞0时，函数的周期为1，作出函数f（x）的图象如图：
∵直线y=kx+1（k＜0）过定点（0，1），
∴由图象可知当直线经过点（1，0）时，两个函数的图象有2个交点，此时0=k+1，
解得k=-1，
当直线经过点（2，0）时，两个图象有3个交点，此时0=2k+1，解得k=-

1

2

，但此时不满足条件，
故要使直线y=kx+1（k＜0）与函数y=f（x）的图象恰有2个不同的交点，
则-1≤x＜-

1

2

，
故选：B

点评：本题考查的知识点是根据根的存在性及根的个数的判断，利用图象法结合数形结合的思想，分析函数图象交点与k的关系是解答本题的关键．