Question

设函数f（x）定义于闭区间[0，1]，满足f（0）=0，f（1）=1，且对任意x，y∈[0，1]，x≤y，都有f（

x+y

2

）=（1-a²）f（x）+a²f（y），其中常数a满足0＜a＜1，求a的值．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：依题意，可求得f（

1

2

）=a²，f（

1

4

）=a⁴，继而可求得f（

3

4

）=2a²-a⁴，利用f（

1

2

）=f（

1 4 + 3 4

2

）=-2a⁶+3a⁴，可得到关于a的方程a²=-2a⁶+3a⁴，解之即可．

解答： 解：因为f（

1

2

）=f（

0+1

2

）=a²，…2分
f（

1

4

）=f（

0+ 1 2

2

）=a²f（

1

2

）=a⁴，…4分
f（

3

4

）=f（

1 2 +1

2

）=（1-a²）f（

1

2

）+a²f（1）=2a²-a⁴，…6分
所以f（

1

2

）=f（

1 4 + 3 4

2

）=（1-a²）f（

1

4

）+a²f（

3

4

）=-2a⁶+3a⁴，…10分
由此得a²=-2a⁶+3a⁴，…12分
而0＜a＜1，所以a=

2

2

…14分

点评：本题考查抽象函数及其应用，求得f（

1

2

）=a²是关键，着重考查赋值法的应用，考查等价转化思想与运算求解能力，属于难题．