Question

已知A、B、C是直线l上不同的三点，O为直线l外任一点，向量

OA

，

OB

，

OC

满足

OA

=[f（x）+2f′（1）]•

OB

-1n（x+1）•

OC

．
（1）求函数y=f（x）的表达式；
（2）若不等式

1

2

x²≤f（x²）+m²-2bm-3对x∈[-1，1]及b∈[-1，1]都恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,导数的运算

专题：平面向量及应用

分析：（1）由A、B、C是直线l上不同的三点，

OA

=[f（x）+2f′（1）]•

OB

-1n（x+1）•

OC

．利用向量共线定理可得：f（x）+2f′（1）-ln（x+1）=1，再求导即可得出；
（2）不等式

1

2

x²≤f（x²）+m²-2bm-3?

1

2

x2-ln(1+x2)≤m2-2bm-3，令h（x）=

1

2

x2-ln(1+x2)，利用导数即可得出其最大值．于是m²-2bm-3≥h（x）_max对b∈[-1，1]恒成立，再利用一次函数的单调性即可得出．

解答： 解：（1）∵A、B、C是直线l上不同的三点，

OA

=[f（x）+2f′（1）]•

OB

-1n（x+1）•

OC

．
∴f（x）+2f′（1）-ln（x+1）=1，
∴f′(x)=

1

x+1

，∴f′(1)=

1

2

，
∴f（x）═ln（x+1）．即y=f（x）=ln（x+1）．
（2）不等式

1

2

x²≤f（x²）+m²-2bm-3?

1

2

x2-ln(1+x2)≤m2-2bm-3，
令h（x）=

1

2

x2-ln(1+x2)，则h′(x)=x-

2x

1+x2

=

x(x+1)(x-1)

x2+1

．
当x∈（-1，0）时，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增；当x∈（0，1）时，h′（x）＜0，函数h（x）单调递减．
∴当x=0时，h（x）_max=0．
∴m²-2bm-3≥0对b∈[-1，1]恒成立，即2bm+3-m²≤0．
∴

-2m+3-m2≤0 2m+3-m2≤0

，解得m≥3或m≤-3．

点评：本题考查了向量共线定理、利用导数研究函数的单调性极值与最值、一次函数的单调性，考查了恒成立问题的等价转化方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．