Question

设函数f（x）是连续函数，且在x=1处存在导数．如函数f（x）及其导函数f′（x）满足f′（x）•lnx=x-

f(x)

x

，则函数f（x）（　　）

• A、既有极大值，又有极小值
• B、有极大值，无极小值
• C、有极小值，无极大值
• D、既没有极大值，又没有极小值

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：由f′（x）•lnx=x-

f(x)

x

，由于（f（x）lnx）′=f′(x)lnx+

f(x)

x

，可得f（x）=

1，x=1 x2-1 2lnx ，x＞0且x≠1

，当x≠1时，f′（x）=

2x2lnx-(x2-1)

2xln2x

．令g（x）=2x²lnx-x²+1，可得g′（x）=4xlnx．利用其单调性可得：当x=1时，g（x）取得极小值即最小值，g（1）=0．进而得出函数f（x）的单调性．

解答： 解：由f′（x）•lnx=x-

f(x)

x

，∵（f（x）lnx）′=f′(x)lnx+

f(x)

x

，
∴（f（x）lnx）′=x，
∴f（x）lnx=

1

2

x2+c，（*）
∵函数f（x）是连续函数，
∴由f′（x）•lnx=x-

f(x)

x

，可得f（1）=1，
代入（*），可得c=-

1

2

．
∴f（x）=

1，x=1 x2-1 2lnx ，x＞0且x≠1

，
当x≠1时，f′（x）=

2x2lnx-(x2-1)

2xln2x

．
令g（x）=2x²lnx-x²+1，∴g′（x）=4xlnx．
当x＞1时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；当0＜x＜1时，g′（x）＜0，g（x）单调递减法．
∴当x=1时，g（x）取得极小值即最小值，g（1）=0．
∴f′（x）＞0（x≠1），且在x=1处存在导数f′（1）=0．
∴函数f（x）在x＞0时单调递增．
∴f（x）既没有极大值，又没有最小值．
故选：D．

点评：本题考查了构造函数法利用导数求函数的解析式、利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力和计算能力，属于难题．