Question

已知抛物线y²=4x的焦点F，过F作直线l交抛物线于A（x_A，y_A），B（x_B，y_B）两点，其中点A在x轴上方．
（1）求y_Ay_B的值，当|AB|=8时，求直线l的方程；
（2）设P（-1，0），求证：直线PA，PB的斜率之和为0；
（3）设Q（2，0），AQ的延长线交抛物线于C，BC的中点为D，当直线DF在y轴上的截距的取值范围是（

2

3

，2），求y_A取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）设l：y=k（x-1），由

y=k(x-1) y2=4x

，得y2-

4

k

y-4=0，由韦达定理和椭圆弦长公式能求出直线l的方程．
（2）由y_Ay_B=-4，和得k_PA+k_PB=

yA

xA+1

+

yB

xB+1

=0，由此能证明直线PA，PB的斜率之和为0．
（3）由（1）得C（

16

yA2

，

-8

yA

），B（

4

yA2

，

-4

yA

），从而D（

10

yA2

，

-6

yA

），DF：y=

6yA

yA2-10

（x-1），由此能求出y_A取值范围．

解答： （1）解：由直线与抛物线有两个不同交点知直线l的斜率不为零，
当直线l的斜率存在且不为零时，设l：y=k（x-1），
由

y=k(x-1) y2=4x

，得y2-

4

k

y-4=0，
∴y_Ay_B=-4，y_A+y_B=

4

k

，
当l斜率不存在时，y_Ay_B=-4，∴y_Ay_B=-4，
|AB|=

1+ 1 k2

|y₁-y₂|=

1+ 1 k2

(y1+y2)2-4y1y2

=8，
解得k=±1，
∴直线l的方程为：y=x-1或y=x+1．
（2）证明：∵y_Ay_B=-4，
∴k_PA+k_PB=

yA

xA+1

+

yB

xB+1

，
=

(yA+yB)(1+ yAyB 4 )

(xA+1)(xB+1)

=0，
∴直线PA，PB的斜率之和为0．
（3）解：由（1）得C（

16

yA2

，

-8

yA

），B（

4

yA2

，

-4

yA

），
∴D（

10

yA2

，

-6

yA

），∴DF：y=

6yA

yA2-10

（x-1），
令x=0，得

-6yA

yA2-10

∈(

2

3

，2)，∴y_A∈（1，2），
∴y_A取值范围是（1，2）．

点评：本题考查直线方程的求法，考查两直线的斜率之和为0的证明，考查点的纵坐标的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意椭圆弦长公式的合理运用．