Question

已知函数y=x²+2ax+1，当0≤x≤2时该函数的值域为

 

．

Answer 1

考点：函数的值域

专题：函数的性质及应用

分析：可知y=x²+2ax+1的图象开口向上，对称轴为x=-a，分类讨论可得．

解答： 解：y=x²+2ax+1的图象开口向上，对称轴为x=-a，
①当-a＜0，即a＞0时，y=x²+2ax+1在[0，2]上单调递增，
由二次函数可知y_min=1，y_max=5+4a，
∴函数的值域为[1，5+4a]；
②当-a＞2即a＜-2时，函数在[0，2]上单调递减，
由二次函数可知y_min=5+4a，y_max=1，
∴函数的值域为[5+4a，1]；
③当0≤-a≤1即-1≤a≤0时，y=x²+2ax+1在[0，-a]上单调递减，在[-a，2]上单调递增，
y_min=a²-2a×a+1=1-a²，y_max=5+4a，
此时函数的值域为[1-a²，5+4a]；
④当1＜-a≤2，即-2≤a＜-1时，y=x²+2ax+1在[0，a]上单调递减，在[a，2]上单调递增，
y_min=a²-2a×a+1=1-a²，y_max=1，
此时函数的值域为[1-a²，1]；
故答案为：当a＞0时，函数的值域为[1，5+4a]，
当a＜-2时，函数的值域为[5+4a，1]；
当-1≤a≤0时，函数的值域为[1-a²，5+4a]；
当-2≤a＜-1时，函数的值域为[1-a²，1]．

点评：本题考查函数的值域，涉及分类讨论的思想，属中档题．