Question

已知f₁（x）=sinx-cosx，若f₂（x）=f₁′（x），f₃（x）=f₂′（x），…，f_n（x）=f_n-1′（x）（n∈N^*且n＞1），则f₁（

π

2

）+f₂（

π

2

）+…+f₂₀₀₈（

π

2

）等于

 

．

Answer 1

考点：导数的运算

专题：导数的综合应用

分析：利用导数的运算法则，通过计算即可得出其周期性f_n+4（x）=f_n（x）进而即可得出答案．

解答： 解：∵f₁（x）=sinx-cosx，
∴f₂（x）=f₁′（x）=cosx+sinx，
f₃（x）=（cosx+sinx）′=-sinx+cosx，
f₄（x）=（-sinx+cosx）′=-cosx-sinx，
f₅（x）=（-cosx-sinx）′=sinx-cosx，
依此类推，可得出f_n（x）=f_n+4（x），即函数f_n（x）具备周期性，周期是4．
且f₁（x）+f₂（x）+f₃（x）+f₄（x）=0，
∵2008=502×4，
∴f₁（

π

2

）+f₂（

π

2

）+…+f₂₀₀₈（

π

2

）=502×0=0．
故答案为：0．

点评：本题考查三角函数的导数、周期性、及观察归纳思想的运用，熟练掌握三角函数的求导法则，利用其中的函数周期性则解决本题的关键．