Question

已知向量

a

=（

1

2

，

3

2

），

b

=（-

3

2

，

1

2

），

c

=（cosθ，sinθ），则（

a

-

c

）•（

b

-

c

）的最大值为

 

．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：计算题,三角函数的求值,平面向量及应用

分析：运用向量的数量积的坐标表示和模的公式，求出向量a，b的数量积和模，化简三角函数式，注意运用两角和差公式，以及三角函数的最值，即可求出最大值．

解答： 解：∵

a

=（

1

2

，

3

2

），

b

=（-

3

2

，

1

2

），

c

=（cosθ，sinθ），
∴

a

•

b

=-

3

4

+

3

4

=0，

a

+

b

=（

1- 3

2

，

1+ 3

2

），|

c

|=1，
∴（

a

-

c

）•（

b

-

c

）=

a

•

b

-

c

•（

a

+

b

）+

c

²=0-（

1- 3

2

cosθ+

1+ 3

2

sinθ）+1
=1-

2

（

2 - 6

4

cosθ+

2 + 6

4

sinθ）
=1-

2

sin（θ-15°）
∴当sin（θ-15°）=-1时，上式取最大值1+

2

．
故答案为：1+

2

．

点评：本题考查向量的数量积的坐标表示，向量的平方等于模的平方，考查三角函数的化简和求值，注意运用两角和差公式，以及三角函数的性质，属于中档题．