Question

已知动点P到定点F（1，0）的距离比到定直线x+2=0的距离少1．
（1）求动点P的轨迹Γ的方程；
（2）设A（横坐标大于1）、B（纵坐标大于0）为轨迹Γ上的相异两点，问是否存在实数λ，使得

AB

=λ

AF

且|AB|=

16

3

，若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知条件得动点P是以F（1，0）为焦点，x=-1为准线的抛物线，由此能求出动点P的轨迹Γ的方程．
（2）假设存在实数λ，使得

AB

=λ

AF

，且|AB|=

16

3

，由

AB

=λ

AF

，知A，F，B三点共线，当直线AB斜率不存在时，|AB|=4＜

16

3

；当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为y=k（x-1），代入y²=4x，得：k²x²-2（k²+2）x+k²=0，由此利用韦达定理结合已知条件能求出λ的值．

解答： 解：（1）根据题意知，动点P到定点F（1，0）的距离等于到直线x+1的距离，
∴动点P是以F（1，0）为焦点，x=-1为准线的抛物线，
∴p=2，动点P的轨迹Γ的方程为y²=4x．
（2）假设存在实数λ，使得

AB

=λ

AF

，且|AB|=

16

3

，
由

AB

=λ

AF

，知A，F，B三点共线，
当直线AB斜率不存在时，有A（1，2），B（1，-2），|AB|=4＜

16

3

，
当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为y=k（x-1），
代入y²=4x，得：
k²x²-2（k²+2）x+k²=0，
当k=0时，方程只有一解，与题意不符，舍去，
当k≠0时，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x1+x2=

2(k2+2)

k2

，x₁x₂=1，
∴|AB|=x1+x2+2=

2(k2+2)

k2

+2=4+

4

k2

=

16

3

，
解得k=±

3

，
∵x₁＞1，y₁＞0，∴k=

3

，
∴x₁=3，x2=

1

3

，∴λ=

x2-x1

xF-x1

=

4

3

，即?实数λ，使得

AB

=λ

AF

且|AB|=

16

3

点评：本题考查点的轨迹方程的求法，考查λ的值的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．