Question

已知，PA垂直于正方形ABCD所在平面，且PA=AB．
（1）求平面PDC与平面ABCD所成二面角的大小；
（2）求二面角B-PC-D的大小；
（3）求二面角A-PB-C的大小；
（4）求平面PAC与平面PCD所成二面角的大小．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法

专题：空间角

分析：设PA=AB=1，以A为原点，AB为x轴，以AD为y轴，以AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的大小．

解答： 解：（1）设PA=AB=1，以A为原点，AB为x轴，以AD为y轴，
以AP为z轴，建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），
D（0，1，0），P（0，0，1），

PD

=(0，1，-1)，

PC

=（1，1，-1），

PB

=（1，0，-1），
设平面PCD的法向量

n

=(x，y，z)，
则

n • PC =x+y-z=0 n • PD =y-z=0

，
取y=1，得

n

=（0，1，1），又平面ABCD的法向量

m

=（0，0，1），
设平面PDC与平面ABCD所成二面角的平面角为θ，
cosθ=|cos＜

m

，

n

＞|=|

1

2

|=

2

2

，∴θ=45°，
∴平面PDC与平面ABCD所成二面角为45°．
（2）设平面PCB的法向量

p

=(a，b，c)，
则

n • PC =a+b-c=0 n • PB =a-c=0

，取a=1，得

p

=(1，0，1)，
设二面角B-PC-D的平面角为α，
则cosα=|cos＜

n

，

p

＞|=|

1

2 × 2

|=

1

2

，∴α=60°，
∴二面角B-PC-D的大小为60°．
（3）∵面APB的法向量

q

=（0，1，0），
∴cos＜

q

，

p

＞=

0

2

=0，
∴二面角A-PB-C的大小为90°．
（4）

AP

=(0，0，1)，
设平面PAC的法向量

r

=（x₁，y₁，z₁），
则

AP • r =z1=0 PC • r =x1+y1-z1=0

，取x₁=1，得

r

=（1，-1，0），
设平面PAC与平面PCD所成二面角的平面角为β，
cosβ=|cos＜

r

，

n

＞|=|

-1

2 × 2

|=

1

2

，∴β=60°，
∴平面PAC与平面PCD所成二面角的大小为60°．

点评：本题考查二面角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．