Question

设函数f（x）=x²+bln（x+1），其中b≠0．
（Ⅰ）当b＞

1

2

时，判断函数f（x）在定义域上的单调性；
（Ⅱ）求函数f（x）的极值点．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求导数，利用导数的正负，可得函数f（x）在定义域上的单调性；
（Ⅱ）先求出函数的定义域，求导数f′（x），在定义域内按①当b≥1时，②当b＜1时，③当0＜b＜1时三种情况解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0，根据极值点的定义即可求得；

解答： 解：（Ⅰ）函数f（x）=x²+bln（x+1）的定义域为（-1，+∞）…2
f′(x)=2x+

b

x+1

=

2x2+2x+b

x+1

…4
令g（x）=2x²+2x+b，则g（x）在(-

1

2

，+∞)上递增，在(-1，-

1

2

)上递减，
∴g(x)min=g(-

1

2

)=-

1

2

+b．
当b＞

1

2

时，g(x)min=-

1

2

+b＞0，g（x）=2x²+2x+b＞0在（-1，+∞）上恒成立，∴f′（x）＞0，
即当b＞

1

2

时，函数f（x）在定义域（-1，+∞）上单调递增…6
（II）分以下几种情形讨论：
（1）由（I）知当b＞

1

2

时，函数f（x）无极值点．
（2）当b=

1

2

时，f′(x)=

2(x+ 1 2 )2

x+1

，
∴x∈(-1，-

1

2

)时，f′（x）＞0，x∈(-

1

2

，+∞)时，f′（x）＞0，
∴b=

1

2

时，函数f（x）在（-1，+∞）上无极值点…8
（3）当b＜

1

2

时，解f′（x）=0得两个不同解x1=

-1- 1-2b

2

，x2=

-1+ 1-2b

2

．
当b＜0时，x1=

-1- 1-2b

2

＜-1，x2=

-1+ 1-2b

2

＞-1，
∴x₁∉（-1，+∞），x₂∈（-1，+∞），
此时f（x）在（-1，+∞）上有唯一的极小值点x2=

-1+ 1-2b

2

…10
当0＜b＜

1

2

时，x₁，x₂∈（-1，+∞），f′（x）在（-1，x₁），（x₂，+∞）都大于0，f′（x）在（x₁，x₂）上小于0，
此时f（x）有一个极大值点x1=

-1- 1-2b

2

和一个极小值点x2=

-1+ 1-2b

2

综上可知，b＜0时，f（x）在（-1，+∞）上有唯一的极小值点x2=

-1+ 1-2b

2

；0＜b＜

1

2

时，f（x）有一个极大值点x1=

-1- 1-2b

2

和一个极小值点x2=

-1+ 1-2b

2

b≥

1

2

时，函数f（x）在（-1，+∞）上无极值点．…13

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性、函数在某点取得极值的条件，注意f′（x₀）=0是x₀为可导数函数的极值点的必要不充分条件．