Question

求下列函数在指定的闭区间上的最大值和最小值
（1）F（x）=2x³-17x²+42x-28，[1，5]；
（2）G（x）=e^x（x²-4x+3），[-3，2]．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（1）（2）利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．

解答： 解：（1）F′（x）=6x²-34x+42=2(x-

17- 37

6

)(x-

17+ 37

6

)．x∈[1，5]．
令F′（x）=0，解得x1=

17- 37

6

，x2=

17+ 37

6

．
列表如下：

x	[1，x1）	x1	（x1，x2）	x2	（x2，5]
F′（x）	+	0	-	0	+
F（x）	单调递增	极大值	单调递减	极小值	单调递增

由表格可知函数F（x）单调性，因此需要计算以下函数值：F（1）=-1，F（x₂）＞-1，因此F（x）的最小值为-1；F（5）=7，F（x₁）＜7，因此函数F（x）的最大值为7．
（2）G′（x）=e^x（x²-2x-1）=ex[x-(1+

2

)][x-(1-

2

)]，x∈[-3，2]．
令G′（x）＞0，解得-3≤x＜1-

2

，此时函数G（x）单调递增；
令G′（x）＜0，解得1-

2

＜x≤2，此时函数G（x）单调递减．
因此当x=1-

2

时，函数G（x）取得最大值，G(1-

2

)=e1-

2

(2+2

2

)．
又G（-3）=

24

e3

，G（2）=-e²，
∴函数G（x）的最小值为-e²．

点评：本题考查了利用导数研究闭区间上的函数的单调性极值与最值，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．