Question

已知函数f（x）=

a

3

x³+

b

2

x²-a²x（a＞0）
（1）若函数f（x）的图象在x=2处的切线方程为y=7x-20，求a、b的值；
（2）设x₁，x₂是函数f（x）的两个极值点，且|x₁|+|x₂|=2，试用a表示b²；
（3）求证：|b|≤

4 3

9

．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的极值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（1）f′（x）=ax²+bx-a²，由于函数f（x）的图象在x=2处的切线方程为y=7x-20，可得

f′(2)=7 f(2)=-6

，解出即可；
（2）由于x₁，x₂是函数f（x）的两个极值点，可得x₁，x₂是方程ax²+bx-a²=0的两个实数根，可得x1+x2=-

b

a

，x₁x₂=-a，由b=-a（x₁+x₂）=x₁x₂（x₁+x₂），可得b²=(x1x2)2(

x

2 1

+

x

2 2

+2x1x2)，利用|x₁|+|x₂|=2，a＞0，可得

x

2 1

+

x

2 2

=4+2x1x2，即可得出．
（3）设y=b²=4a²-4a³，利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．

解答： 解：（1）f′（x）=ax²+bx-a²，
∵函数f（x）的图象在x=2处的切线方程为y=7x-20，
∴

f′(2)=7 f(2)=-6

，即

4a+2b-a2=7 8 3 a+2b-2a2=-6

，解得

a=3 b=2

．
（2）∵x₁，x₂是函数f（x）的两个极值点，
∴x₁，x₂是方程ax²+bx-a²=0的两个实数根，
∴x1+x2=-

b

a

，x₁x₂=-a，
∴b=-a（x₁+x₂）=x₁x₂（x₁+x₂），
∴b²=(x1x2)2(

x

2 1

+

x

2 2

+2x1x2)，
∵|x₁|+|x₂|=2，∴

x

2 1

+

x

2 2

+2|x1x2|=4，
∵a＞0，∴x₁x₂=-a＜0，
∴

x

2 1

+

x

2 2

=4+2x1x2，
∴b²=(x1x2)2(

x

2 1

+

x

2 2

+2xx)=a²（4+4x₁x₂）=a²（4-4a）=4a²-4a³（a＞0）．
（3）设y=b²=4a²-4a³，∴y′=8a-12a²，令y′=0，又a＞0，解得a=

2

3

．
当a＞

2

3

时，y′＜0，函数y单调递减；当0＜a＜

2

3

时，y′＞0，函数y单调递增．
∴当a=

2

3

时，函数y取得极大值，也是最大值，且最大值为

16

27

，
∴b2≤

16

27

，
∴|b|≤

4 3

9

．

点评：本题查克拉利用导数研究函数的单调性极值与最值、导数的几何意义、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．