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    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    甲、乙、丙三名大学参加某单位招聘考试，成绩合格可获得面试的资格，甲同学表示成绩合格就去参加面试，而乙、丙二人约定：两人成绩都合格才一同参加面试，否则都不参加．设每人成绩合格的概率均为
    2
    3
    ，求：
    （Ⅰ）三人中至少有一人成绩合格的概率；
    （Ⅱ）去参加面试的人数ξ的分布列和数学期望．
    考点：离散型随机变量及其分布列,离散型随机变量的期望与方差
    专题：概率与统计
    分析：（Ⅰ）用A、B、C分别表示事件甲、乙、丙成绩合格．由题意知A、B、C相互独立，且P（A）=P（A）=P（C）=
    2
    3
    ，由此能求出至少有一人成绩合格的概率．
    （Ⅱ）ξ的可取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出去参加面试的人数ξ的分布列和数学期望．
    解答： 解：（Ⅰ）用A、B、C分别表示事件甲、乙、丙成绩合格．由题意知A、B、C相互独立，
    且P（A）=P（A）=P（C）=
    2
    3
    ，…（1分）
    至少有一人成绩合格的概率是：
    1-P（
    .
    A
    .
    B
    .
    C
    ）=1-P（
    .
    A
    ）P（
    .
    B
    ）P（
    .
    C
    ）
    =1-（
    1
    3
    ）3=
    26
    27
    ．…（4分）
    （Ⅱ）ξ的可取值为0，1，2，3         …（5分）
    P（ξ=0）=P（A
    .
    B
    .
    C
    ）+P（
    .
    A
    .
    B
    C    ）+P（
    .
    A
    .
    B
    .
    C
    ）
    =
    2
    3
    ×(
    1
    3
    )2+(
    1
    3
    )2×
    2
    3
    +(
    1
    3
    )3    =
    5
    27
    ，…（6分）
    P（ξ=1）=P（
    .
    A
    B
    .
    C
    ）+P（
    .
    A
    BC    ）+P（AB
    .
    C
    ）
    =(
    1
    3
    )2×
    2
    3
    +
    1
    3
    ×(
    2
    3
    )2+(
    2
    3
    )2×
    1
    3
    =
    10
    27
    ，…（7分）
    P（ξ=2）=P（A
    .
    B
    C）=(
    2
    3
    )2×
    1
    3
    =
    4
    27
    ，…（8分）
    P（ξ=3）=P（ABC）=(
    2
    3
    )3    =
    8
    27
    ，…（9分）
    所以ξ的分布列为
    ξ0123
    P
    5
    27
    10
    27
    4
    27
    8
    27
    …（11分）
    ξ的数学期望为Eξ=0×
    5
    27
    +1×
    10
    27
    +2×
    4
    27
    +3×
    8
    27
    =
    14
    9
    ．…（13分）
    点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，在历年高考中都是必考题型．
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    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f（x）=aex，g（x）=
    1
    a
    lnx，其中a＞0．若函数f（x）和 g（x）在它们图象与坐标轴交点处的切线互相平行．
    （1）求这两平行切线间的距离；
    （2）若对于任意x∈R，f（x）≥mx+1（其中m＞0）恒成立，求m的取值范围
    （3）当x0∈（0，+∞），把|f（x0）-g（x0）|的值称为函数f（x）和 g（x）在x0处的纵差．求证：函数f（x）和g（x）所有纵差都大于2．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f（x）=
    a
    3
    x3+
    b
    2
    x2-a2x（a＞0）
    （1）若函数f（x）的图象在x=2处的切线方程为y=7x-20，求a、b的值；
    （2）设x1，x2是函数f（x）的两个极值点，且|x1|+|x2|=2，试用a表示b2；
    （3）求证：|b|≤
    4
    		3
    9
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    等差数列{an}中，a1=1，d＞0，且它的第2项，第5项，第14项成等比，分别是等比数列{bn}的第2项，第3项，第4项．
    （1）求数列{an}与{bn}的通项公式；
    （2）设数列{cn}对任意n∈N*均有
    c1
    b1
    +
    c2
    b2
    +…+
    cn
    bn
    =an成立，求c1+c2+…+cn（n≥2）．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞0，b＞0）的离心率为
    		5
    3
    ，F1、F2分别是椭圆C的左、右焦点，点P（
    3
    2
    ，m）是椭圆上一点，且
    PF1
    •
    PF2
    =
    1
    4
    ．
    （Ⅰ）求椭圆C的方程；
    （Ⅱ）过点Q（2，0）的直线交椭圆C于A、B两点，O是坐标原点，设
    OM
    =
    OA
    +
    OB
    ，且|
    OM
    |=|
    AB
    |，求直线l的方程．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知三点A、B、C的坐标分别为A（3，0）、B（0，3）、C（cosx，sinx）．
    （1）若x∈R，求|
    AC
    |的最大值和最小值；
    （2）若x≠
    kπ
    4
    ，k∈Z，且
    AC
    ⊥
    BC
    ，求
    1+sin2x-cos2x
    1+tanx
    的值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    一束光线从点A（-3，9）出发，经x轴反射到圆C：（x-2）2+（y-3）2=1上的最短路程是
     
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    如果一条直线的投影与另一条直线垂直，那么这两条直线垂直．
     
    ．（判断对错）

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    函数y=1-
    		5-4x-x2
    （-5≤x≤-2）的反函数是
     
    ．

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