Question

等差数列{a_n}中，a₁=1，d＞0，且它的第2项，第5项，第14项成等比，分别是等比数列{b_n}的第2项，第3项，第4项．
（1）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（2）设数列{c_n}对任意n∈N^*均有

c1

b1

+

c2

b2

+…+

cn

bn

=a_n成立，求c₁+c₂+…+c_n（n≥2）．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）根据等差数列和等比数列的公式，建立方程关系，即可求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（2）求出数列{c_n}的通项公式，利用等比数列的求和公式即可求c₁+c₂+…+c_n（n≥2）．

解答： 解：（1）等差数列{a_n}中，第2项，第5项，第14项成等比，
则a₂=1+d，a₅=1+4d，a₁₄=1+13d，a₅²=a₂a₁₄，
即（1+4d）²=（1+d）（1+13d），
整理得d²=2d，解得d=0，（舍去）或d=2，
则a_n=2n-1，
b₂=3，b₃=9，则等比数列{b_n}的公比q=3，
则b_n=3^n-1；
（2）∵

c1

b1

+

c2

b2

+…+

cn

bn

=a_n成立，
∴当n≥2，

c1

b1

+

c2

b2

+…+

cn-1

bn-1

=a_n-1，
两式相减得

cn

bn

=a_n-a_n-1=2，
即c_n=2b_n=2•3^n-1，
当n=1，

c1

a1

=a1，解得c₁=1不满足c_n，
则c_n=

1， n=1 2•3n-1， n≥2

则c₁+c₂+…+c_n=1+2（3+3²+…+3^n-1）=3ⁿ-2•3^n-1．

点评：本题主要考查数列的通项公式和数列求和，根据等差数列和等比数列的相关公式求出对应的通项公式是解决本题的关键．