Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的离心率为

5

3

，F₁、F₂分别是椭圆C的左、右焦点，点P（

3

2

，m）是椭圆上一点，且

PF1

•

PF2

=

1

4

．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点Q（2，0）的直线交椭圆C于A、B两点，O是坐标原点，设

OM

=

OA

+

OB

，且|

OM

|=|

AB

|，求直线l的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,平面向量数量积的运算,椭圆的标准方程

专题：计算题,平面向量及应用,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）设F₁（-c，0）、F₂（c，0），求出向量PF₁，PF₂，由数量积的坐标表示得到方程，再由离心率得到方程，和点P在椭圆上，得到方程，解出方程组，即可得到椭圆方程；
（Ⅱ）由设

OM

=

OA

+

OB

，且|

OM

|=|

AB

|，得到

OA

•

OB

=0，讨论直线l的斜率不存在，不成立，再设直线l的方程为y=k（x-2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）联立椭圆方程，去掉y得到x的方程，运用韦达定理，再求y₁y₂，由向量垂直的坐标表示，得到方程，解出即可．

解答： 解：（Ⅰ）设F₁（-c，0）、F₂（c，0），则

PF1

=（-c-

3

2

，-m），

PF2

=（c-

3

2

，-m），
因为

PF1

•

PF2

=

1

4

，所以

9

4

-c²+m²=

1

4

，即m²=c²-2，…①
由椭圆的离心率为

5

3

，所以

c

a

=

5

3

 …②
又点P（

3

2

，m）在椭圆上，所以

9

4a2

+

m2

b2

=1…③
由①②③解得a²=9，c²=5，m²=3，b²=4，
所以椭圆C的方程为

x2

9

+

y2

4

=1；
（Ⅱ）因为设

OM

=

OA

+

OB

，所以四边形OAMB为平行四边形，
又因为且|

OM

|=|

AB

|，所以四边形OAMB为矩形，所以

OA

•

OB

=0，
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=2
由

x=2 x2 9 + y2 4 =1

得

x=2 y=± 2 5 3

，
此时

OA

•

OB

=

16

9

＞0与

OA

•

OB

=0矛盾，
 故直线l的斜率存在且不为零．
设直线l的方程为y=k（x-2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由

y=k(x-2) x2 9 + y2 4 =1

得（9k²+4）x²-36k²x+36（k²-1）=0    
所以x₁+x₂=

36k2

9k2+4

，x₁x₂=

36(k2-1)

9k2+4

…①
y₁y₂=k²[x₁x₂-2（x₁+x₂）+4]=-

20k2

9k2+4

 …②
由

OA

•

OB

=0，即x₁x₂+y₁y₂=0得k=±

3

2

，
故所求直线l的方程为y=±

3

2

（x-2）
即3x-2y-6=0或3x+2y-6=0．

点评：本题考查椭圆的方程和性质，直线和椭圆的位置关系，联立方程消去未知数，运用韦达定理，同时考查向量的垂直和数量积的坐标表示，向量的平行四边形法则，考查化简运算能力，属于中档题．