Question

设函数f（x）=mx³-3x+n，m，n∈R
（Ⅰ）已知f（x）在区间（m，+∞）上递增，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）存在实数m，使得当x∈[0，n-2]时，2≤f（x）≤6恒成立，求n的最大值及此时m的值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）先求f′（x），讨论m找函数f（x）的单调增区间，并且让f（x）在（m，+∞）上递增，从而求出m的取值范围．
（Ⅱ）所给区间里含有n，所以由已知条件得出m的范围，需不等式两边同除以x³，所以分x=0，和x≠0两种情况：x=0时，得到n的一个取值范围：2≤n≤6；x≠0时，得到

2+3x-n

x3

≤m≤

6+3x-n

x3

，这时候令h（x）=

2+3x-n

x3

，g（x）=

6+3x-n

x3

，然后分别求h（x）的最大值，g（x）的最小值即可．

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=3mx²-3；
m≤0时，f′（x）＜0，∴函数f（x）在R上单调递减，不符合已知条件；
m＞0时，在（-∞，-

1

m

）和（

1

m

，+∞）上f′（x）＞0，∴函数f（x）在这两个区间上单调递增；
∴

1

m

≤m，解得：m≥1．
∴实数m的取值范围为[1，+∞）．
（Ⅱ）x=0时，2≤n≤6；
x≠0时，

2+3x-n

x3

≤m≤

6+3x-n

x3

；
设h（x）=

2+3x-n

x3

，g（x）=

6+3x-n

x3

，x∈（0，n-2]；
h′（x）=

3x3-(2+3x-n)•3x2

x6

=

-6(x- n-2 2 )

x4

；
x∈[0，

n-2

2

）时，h′（x）＞0；x∈（

n-2

2

，n-2]时，h′（x）＜0，∴h(x)max=h(

n-2

2

)=

1 2 n-1

( n-2 2 )3

；
g′（x）=

3x3-(6+3x-n)•3x2

x6

=

-6(x+ 6-n 2 )

x4

＜0；
∴函数g（x）在[0，n-2]上单调递减，∴g(x)min=g(n-2)=

2n

(n-2)3

；
∴

n 2 -1

( n-2 2 )3

≤m≤

2n

(n-2)3

，要使不等式有解，则：

n 2 -1

( n-2 2 )3

≤

2n

(n-2)3

，解得：n≤4；
∴n的最大值是4，此时1≤m≤1，∴m=1．

点评：考查导数符号和函数单调性的关系，解一元二次不等式，函数的单调性和函数的最值的关系，得出

2+3x-n

x3

≤m≤

6+3x-n

x3

并构造函数是求解本题的关键．